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Denkkulturen über Mathematik verbinden ...

Mathematik ist nicht nur ein bewährtes Hilfsmittel aller Ingenieurs-Wissenschaften zum Lösen technischer Probleme. Mathematik ist, spätestens seit den alten Griechen, auch zur zentralen Denkdisziplin unserer wissenschaftlichen Denkkultur geworden. „Unwissenschaftlich“ ist heute ein Schimpfwort. Die Mathematik als Denkdisziplin hat in den letzten Jahren selbst einen Endpunkt technischer Entwicklung erreicht: Mathematik ist auf Computern vollständig mechanisiert worden, samt all ihrer logischen Begründungen. Dies führt zu zwei konträren Schlussfolgerungen: Diese zwei extremen Schlussfolgerungen polarisieren unsere Gesellschaften zunehmend. Wir wollen sie über gemeinsames Verständnis von Mathematik verbinden. Und verschiedene Länder können, mit ihren je unterschiedlichen Kulturen, einander wertvoll ergänzende Beträge dazu leisten.
 * zu hundert-prozentigem Vertrauen in die Mathematik und folglich in rationales Durchplanen aller Lebensvorgänge
 * zur Einsicht in die beschränkte Rolle der Mathematik innerhalb menschlichen Weltverständnisses.

... und auch blinde Menschen einschließen

Allen Menschen sollen Denkdisziplinen zugänglich sein, die unserer Kultur zugrunde liegen. Und Interessierte sollen die Mathematik in ihrer mechanistischen Natur erfahren können – auch blinde Menschen. Blinde Studierende in formalen Wissenschaften hatten vor dreißig Jahren bessere technische Hilfsmittel als heute, trotz „Accessibility“ im Internet und trotz gegenteiliger Beteuerung vieler Verantwortlicher.

Das MAWEN Projekt vereint drei langjährige Forschungsbereiche: (1) Entwicklung von „proof assistants“, (2) Forschung zu „Accessibility“ (Zugänglichkeit von Software für Menschen mit Behinderung) und (3) Entwicklung von Mathematik Lernsoftware. Das Zusammenführen der drei Bereiche schafft Möglichkeiten, die mehrjähriger Entwicklungsarbeit bedürfen. Solche Entwicklungsarbeiten sind in unserem westlichen Wirtschaftssystem schwer zu finanzieren: offene Lernangebote bringen kaum finanziellen Gewinn und blinde Menschen sind eine finanzschwache Konsumenten-Gruppe.

IN ARBEIT   IN ARBEIT    IN ARBEIT    IN ARBEIT    IN ARBEIT    IN ARBEIT

Schrittweises Rechnen wie Schachspielen
Mathematik gilt als schwieriger Lerngegenstand. Der aktuelle Stand der Computer Mathematik ermöglicht jedoch völlig neue Möglichkeiten interaktiven Lernens -- Lernen wie mit einem Schachcomputer: Hier "spielen" zwei Partner Zug um Zug, wobei sich beide an klare Regeln halten:



Der Schachcomputer überprüft die Züge des Spielers, ob sie den Regeln entsprechen. Darüber hinaus ist der Spieler frei in der Wahl der Züge. Ist die "Schwierigkeitsstufe" hoch eingestellt, wird der Spieler bald in Schwierigkeiten geraten. Dann kann er/sie den Computer nach einem nächsten Zug fragen. Wenn die Situation bereits aussichtslos ist, dann geht er/sie in die Spielsituation zurück, wo die Misere vermutlich begann und versucht eine Variante.

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Mathematik ist rechnen (auch mit Symbolen) und begründen der Rechenschritte -- im Begründen der Schritte ist die Computer Mathematik dem Schachcomputer überlegen: ihre Regeln (der formalen Logik) sind ebenso klar wie die Schachregeln, aber die "Spiel"-Strategien sind einfacher und leichter zu durchschauen:



Hier wendet der Student ("Spieler") die Regel (a.c)/(b.c) = a/b  falsch an, der Computer wird ihm dies melden. Kann er/sie nicht weiter, kann er nach einer passenden Regeln fragen. Der Computer entscheidet (je nach eingestellter "Schwierigkeitsstufe"), ob er die Regel ganz oder nur teilweise angibt, ob er sie aus einer Liste auswählen lässt, oder ob er eine Regel einfach anwendet und die resultierende Formel ausgibt.

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Nachdem zu jedem Schritt eine Begründung erfragt werden kann, wird Zusammenarbeit mehrerer Studenten/Schüler im Rechen-"Spiel" interessant. Sogar Sehende und Blinde können auf diese Weise zusammen arbeiten, wie der nächste Abschnitt zeigt.

Blinde und Sehende arbeiten zusammen
Blinde Menschen ersetzen das Sehen durch Entwickeln anderer Fähigkeiten. Auch pflegen sie einen anderen Lebensstil ("no sports" etc). Mathematik könnte für sie ein "Spiel"-Grund sein, vielleicht sogar neue berufliche Möglichkeiten eröffnen. Leider sind die Tatsachen anders: Trotz großen Einsatzes der Software-Entwickler für "Accessibility" sind Formeln auf Computern "tote" Grafiken

Andererseits hat moderne Pädagogik in den meisten Ländern entschieden, dass blinde Kinder zusammen mit sehenden Altersgenossen gemeinsam (inklusiv) mit sehenden unterrichtet werden. Dies ist erfreulich -- aber nicht im Mathematik-Unterricht: dort verlieren Blinde sehr schnell Überblick in komplizierteren Formeln und werden daher bald von "Stützlehrern" sonderbehandelt. Aber mit einer wie oben beschriebenen Computer-Software können Kinder (und später Studenten) gemeinsam mathematische Probleme lösen:



Wenn Sehende und Blinde an einem Computer (oder über Netzwerk) zusammen arbeiten, dann verwenden sie jeweils zwei verschiedene Geräte, um einander auf Formel-Elemente hinzuweisen: Sehende schauen auf den Bildschirm und zeigen mit der Maus, Blinde lesen (zeilenweise !) auf der Braille und zeigen mittels Funktionstasten.

Dabei sind blinde Software-Nutzer zu einem strukturierten Zugriff auf Formeln gezwungen, während sehende sich meist auf "Intuition" verlassen. "Intuition" leitet in der Mathematik gerne fehl, zum Beispiel zum Fehler in der Figur oben: Sehende erkennen die Struktur "intuitiv" nach der vertikalen Ausrichtung der Formeln, während Blinde in komplizierten Formeln auf "Subterme" zugreifen müssen, zum Beispiel auf Zähler und Nenner von Brüchen, und dem obigen Fehler nicht verfallen.

Sobald eine gesamte Lernsoftware wie MAWEN einen Struktur-orientierten Zugang zum Mathematik-Lernen pflegt, dann wird man sehen, ob nicht sehende Schüler von blinden lernen können -- hier also umgekehrt wie in den meisten anderen Fällen.

Die MAWEN-Software ist vielseitig einsetzbar
Die MAWEN-Software baut auf eine Technologie auf, die bisher in Lernsoftware für die ganze Breite von Mathematik-Lernen nicht verwendet wurde, auf "proof assistants", siehe nächsten Abschnitt unten.


 * Kollaboratives und inklusives Lernen in Schulen wie in den beiden vorhergehenden Abschnitten besprochen. Zu ersterem gibt es bereits erfolgreiche Feldversuche 1 2 3.


 * Mathematik für Interessierte jeden Alters wird zugänglich innerhalb von Bildungseinrichtungen und ausßerhalb via Internet. Wieviele "Spätberufene" werden probieren, wie sehr ihr bisheriger Ausspruch gültig ist "Ich war zwar schlecht in Mathematik, aber bin dennoch erfolgreich" ?


 * Spielerische Wettbewerbe um Geschick im Regel-Anwenden, im Aussuchen von mathematischen Methoden, im formalen Beschreiben von Problemen, etc. Dies ist möglich in kleinen Lerngruppen wie in internationalen Bewerben.


 * Mathematik-Interessensgruppen in Bildungseinrichtungen wie auch für selbständige Interessierte können durch die MAWEN-Software angesprochen werden. Warum solche Gruppen nicht in Jugendcamps oder Jugenclubs anbieten? Und nicht nur in speziellen Sommercamps?


 * Wissens-Evaluation in und von Bildungseinrichtungen auf klar quantifizierbaren Grundlagen (spezieller mechnisierter Wissensbasen in "proof assistants"), siehe Abschnitt unten.

Geleistete und laufende Vorarbeiten für MAWEN
Die oben genannten Stärken der MAWEN-Software nehmen zum Teil noch zu entwickelnde Eigenschaften vorweg. Hier folgt nun der konkrete Entwicklungsstand in den drei beteiligten Forschungslinien; laufende Entwicklungsarbeiten werden auf aktuellem Stand gehalten.

In Computer Mathematik
Die bereits geleistete wie die aktuell laufende Forschung und Entwicklung lag und liegt in Händen des Entwicklerteams des "proof assistants" Isabelle und seines Cheftechnologen.

Isabelle baut seit seinen Anfängen in den 1980-Jahren auf eine bewährte Tradition sowie auf eine klare logische Basis auf. In den letzten Jahren hat es die Aufmerksamkeit hunderter Mathematiker weltweit auf sich genzogen, die nach und nach ihr mathematisches Spezialwissen in Isabelle implementieren und so mehr und mehr Mathematik mechanisieren. Mechanisiert werden nicht nur Definitionen und Theoreme, sondern jeder einzelne Schritt eines Beweises -- in für Mathematiker lesbarer Form:



''Das Bild zeigt Isabelle mit seinem bisherigen Frontend jEdit: Der Beweis des "Chinesischen Restsatzes" aus der Zahlentheorie wird automatisch ("by auto") bewiesen, indem er einen geschickt formulierten Hilfssatz benutzt. Der Hilfssatz steht oberhalb, das Fenster zeigt das Ende seines Beweises. An der Stelle "hence" ist der "proof state" im unteren Fenster aufzulösen. Weitere für diesen Satz notwendige Voraussetzungen sind in den Theorien auf der Rechten Seite formalisiert.''

Isabelles Systemarchitektur nützt moderne multi-Core Hardware aus für eine effiziente asynchrone Kommunikation zwischen Beweismaschinerie und Benutzern . Die derzeitige Benutzer-Schnittstelle ist Isabelle/jEdit (in Fig.3) , aber Isabelle/PIDE ("prover IDE") ist so generisch implementiert, dass sie auch andere Benutzer-Schnittstellen ansteuern kann. Derzeit wird an Isabelle/VSCode als neuer Schnittstelle gearbeitet, was für Accessibility von Bedeutung ist.

Isabelle/Isar ist nicht nur eine Eingabesprache für interaktives Beweisen sondern bietet mächtige Werkzeug zur Definition anderer Eingabesprachen . Somit entstehen keine prinzipiellen Schwierigkeiten, vereinfachte Eingabesprachen wie zum Beispiel "structured derivations" . zu definieren, in syntaktischer wie semantischer Hinsicht. Ein Beispiel:



Diese Eingabesprache ist näher an dem, was Studierende an Technischen Fakultäten und an Schulen gewohnt sind. Von diesen Definitions-Werkzeugen profitiert die unten beschriebene Mathematik Lernsoftware Entwicklung:

Offene R&D-Aufgaben für das MAWEN-Projekt:
 * 1) Nachdem grundlegende Funktionalitäten (state and preview panel, HTML preview of theories, etc) bereits implementiert sind, ist viel Implementierungsarbeit notwendig, um die Funktionalität von Isabelle/jEdit insgesamt zu erreichen.
 * 2) Weitere Funktionalitäten betreffen verschiedenste Views für "outline", "debugger", etc, die VSCode "extension APIs" oder generische HTML/CSS/JS Methoden verwenden, um die generischen Webviews von Chromium in VSCode zu handhaben.
 * 3) Um Regel-Anwendungen wie zum Beispiel in Fig.3 im Frontend darzustellen, muss die Termstruktur von Isabelle/PIDE übertragen werden; diese Anforderung kommt neu von der Mathematik Lernsoftware Entwicklung
 * 4) Die Mathematik Lernsoftware Entwicklung stellt auch neue Anforderungen an Interaktivität: Während in Beweisen kaum Hilfe für einen nächsten Beweis-Schritt zu erwarten ist, hängt der Nutzen eines Lernsystem davon ab, den nächsten Rechen-Schritt vorschlagen zu können. Diese Anforderung stellt grundsätzliche Fragen an die Systemarchitektur von Isabelle/PIDE.

Ein Teil der Entwicklungsaufgaben gilt dem neuen Frontend Isabelle/VSCode und kann unabhängig von MAWEN realisiert werden.

In "Accessibility" und HCI
Diese Forschungslinie ist durch zwei Universitäten vertreten, die Johannes Kepler Universität in Linz und die Fachhochschule Hagenberg.

Accessibility liegt in Händen des Institut Integriert Studieren (IIS) der Universität Linz. Das IIS arbeitet an Accessibility von Mathematik Software im allgemeinen und an Accessibility von Formel-Editoren im besonderen: . Die Mathematik-spezifischen Aktivitäten bringen die langjährige Erfahrung in Accessibility des IIS zusammen mit der Lernsoftware Entwicklung. Am IIS arbeitet einer der wenigen graduierten Mathematiker weltweit, der blind geboren ist, der die Defizite in Accessibility aus eigener Erfahrung kennt, seit Jahren auszugleichen sucht und der der ideale Berater und Alpha-Tester ist.

Offene F&E-Aufgaben für das MAWEN-Projekt
 * 1) Die in bestimmten Ländern gebräuchlisten Braille-Codes für Mathematik bestimmen (Isabelle/MAWEN stellt sowohl ganze Formeln als auch Subterme als Zeichenketten dar).
 * 2) Die Accessibility von Chromium in den verschiedenen Views von Isabelle/VSCode wie auch Isabelle/MAWEN überprüfen und gegebenenfalls mit geeigneten Werkzeugen optimieren.
 * 3) Grafische Darstellung der Abhängigkeiten von Theorien accessible machen; diese folgen nicht der Struktur von Bäumen sondern von gerichteten azyklischen Graphen (DAGs).
 * 4) Forschung, inwieweit visuelle Muster wie die Struktur eines Beweises oder eine Formel (Bäume mit Einrückungen, Syntax-Highlighting, etc) durch akustische Muster angenähert werden können.

Human Centered Design (HCI) ist durch die Fachhochschule Hagenberg vertreten. Ihr Research-Center hat spezielle Expertise in Usability-Engineering und Projekte wie mit Welding Interaction in Future Industry und Human-Centered Workplace 4 Industry, die Interaktionen auch zwischen Maschinen und behinderten Menschen bearbeiten.

Offene F&E-Aufgaben für das MAWEN-Projekt werden sich erst stellen, sobald die MAWEN-Software im praktischen Einsatz ist und die Feddback-Schleifen zwischen Entwicklern und Benutzern wirksam werden sollen. Folgende Methoden sind in Planung:
 * 1) Thinking Aloud Methode
 * 2) Analyse von Indikatoren für erfolgreiches Zusammenarbeiten
 * 3) Awareness gegenüber Aktivitäten anderer.

In Mathematik Lernsoftware und Praxistests
Das ISAC-Projekt entwickelt seit zwei Jahrzehnten Software-Prototypen auf der Basis von Isabelle-Technologien . Besonderes Augenmerk liegt auf drei Punkten: (1) ISAC verwendet das vereinfachte Beweisformat von "structured derivations" und erweitert es mit next step guidance, in der man sich einen nächsten Rechenschritt vorschlagen lassen kann, falls man nicht weiter weiß . (2) Das Format wird durch eine formale Spezifikation erweitert; dies wird in der Ingenieurs-Ausbildung gewünscht, kann im Schulunterricht übersprungen werden und ermöglicht Probleme in Sub-Probleme zu zerlegen. (3) Die auf diese Weise mächtige Mathematik-Maschine wird durch einen Dialog-Modul gezähmt: Die Lernsoftware soll nicht zu viel und nicht zu wenig Hilfestellung anbieten .

Die bisherigen Prototypen wurden in Praxistests mit unterschiedlichen Schultypen und Altersstufen erprobt. Der Grund dafür, dass dieser Prototyp noch immer nicht zu einem weithin verwendeten Lernsystem wurde, ist minimal aber entscheidend: Schüler brauchen einen handlichen Formel-Editor, und der steht bis dato in der Java-Welt nicht in geeigneter Form zur Verfügung.

Seit die Accessibility von Isabelle/VSCode bekannt ist, wird die Integration des ISAC Prototypen in Isabelle vorangetrieben und ist derzeit intensiv im Gange. Für den Formel-Editor wird ein Zwischenziel angestrebt: Isabelles 1-dimensionale Formeldarstellung (mit Subskipten, Hochzahlen, etc sowie mit semantischer Information) passt perfekt für das Braille-Display, aber auch für Logik und andere Mathematik-Gebiete (z.B. für 13/14-jährige Schüler). Da Chromium ein "rich client" im Gegensatz zu jEdit ist, erscheint ein 2-dimensionaler Formel-Editor als realistisches Endziel.

Offene F&E-Aufgaben für das MAWEN-Projekt
 * 1) Die laufende Integration von ISAC in Isabelle weiter vorantreiben. Durch die Integration wird auch die Accessibility von Isabelle/VSCode übernommen.
 * 2) Den accessiblen Formel-Editor mit Schreib- und Lese-Zugriff auf Subterme implementieren.
 * 3) ISAC-spezifische Views in Isabelle/VSCode/MAWEN implementieren.
 * 4) ISAC-spezifische Interaktion in Isabelle/PIDE implementieren (siehe Pkt.4 der F&E-Aufgaben in Computer Mathematik.)
 * 5) Einen Dialog-Modul samt User-Model entwickeln.
 * 6) ISAC-spezifisches Mathematik-Wissen implementieren: Problem-Typen, Algorithmen, Regel-Mengen, Term-Orders, etc.

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Der MAWEN Projekt Plan hat Kontakte zu folgenden Zentralschulen aufgenommen: Diese Zentralschulen organisieren jeweils dutzende Schulen mit Inklusions-Unterricht in ihrem jeweiligen Bundesland. In diesen werden drei Jahre lang Feldversuche durchgeführt und Lehrer wie Schüler in die Requirements-Aufnahme eingebunden.
 * Michael Reitter-Landesschule in Linz für Oberösterreich
 * Odilien-Institut in Graz für die Steiermark
 * Bundes-Blindeninstitut in Wien für Wien und Niederösterreich.

Am MAWEN Projekt teilnehmen
Teilnahme ist auf vielerlei Weisen möglich und erwünscht für unterschiedliche Gruppierungen und Institutionen sowie für Einzelpersonen mit besonderen Interessen und Expertisen:

Frontend-Entwicklung für Mathematik-Software
Dieser Entwicklungsbereich schließt einen weiten Bogen von Expertisen ein, der sich auf folgende Weise teilen lässt und somit unterschiedliche Entwicklungs-Interessen anspricht:

(1) ISAC Eingabesprache wird mittels Isabelle/Isar definiert, in syntaktischer Hinsicht (mit Parsern etc) wie in semantischer Hinsicht mit ISACs Mathematik-Engine (SML) verbunden. Diese Entwicklung läuft bereits in Richtung MAWEN.

(2) System-Architektur mit Isabelle/PIDE (SML, Scala und JS) im Zentrum ist vorgegeben. Für VSCode wie für MAWEN ist sie weiter zu entwickeln. ISACs Interaktivität erweitert jene von Isabelle, sodass auch eine Adaption von Node.js (als Teil von Electron) ins Auge zu fassen ist.

(3) VScode/HTML/CSS/JS gestalten letztlich die Benutzer-Oberfläche mit verschiedenen Views, die für Isabelle/VSCode (Outline, Debugger, etc) sowie für Isabelle/MAWEN zu implementieren sind. VSCode APIs für Chromium sowie HTML/CSS/JS-Werkzeuge stehen dafür zur Verfügung. Die Accessibility von Isabelle/VSCode wie von Isabelle/MAWEN wird vom Chromium-Browser ererbt.

In diesem Bereich ist auch Entwicklung von Autoren-Werkzeugen anzusiedeln.

Benutzer-Interface Design für Lernsoftware
Die Benutzer-Oberfläche Isabelle/VSCode/MAWEN verbunden mit der Mathematik-Engine von Isabelle/MAWEN wird ein mächtiges Lernwerkzeug ergeben, das ganz neuartige Herausforderungen an Interface-Designer stellt.

Dialoge zwischen Lernenden uns System sind als "between partners on an equal base" zu sehen: beide tragen zur Konstruktion einer Problemlösung bei. Dabei soll ein "dialog guide" sicherstellen, dass Lernende weder über- noch unterfordert werden. Dies wiederum erfordert ein "user model" bisher unerreichbarer Tiefe.

Accessibility-Aspekte werden das Design aller Interaktionen begleiten; besonderes Augenmerk wird für Interaktionen auf mathematischen Formeln verwendet, sowie Zusammenarbeit von sehenden und blinden Lernenden.

Authoring von interaktiven Lernmodulen
Damit "next step guidance" möglich wird, also das Lernsystem einen nächsten Schritt vorschlagen kann, ist Mathematik-Wissen nach Vorgaben aus dem ISAC-Projekt zu strukturieren: Typen mathematischer Probleme, Lösungs-Algorithmen, Regelmengen, etc.

Dieses Authoring erfolgt im Bereich Isabelle/Isar/MAWEN und erfordert Kenntnisse aus der Comuter Mathematik. Dazu kommt das Instantiieren von "dialog guide" (Lernstrategien) und "user model" (Lernstufen) aus dem Interface Design.

Entsprechenden Vorarbeiten im Authoring durch Kurs-Designer und Lehrbuch-Autoren werden zu "massive open online courses (MOOCs)" führen. Die sollen so "offen" sein, dass jede Lehrkraft Lernmaterialen an die speziellen Bedürfnisse sein Schüler anpassen kann; dies gilt natürlich auch für blinde Lehrkräfte.

Schul-Einführung von Lernmodulen
Isabelle/MAWEN wird ein ideales Werkzeug zum Selbststudium von sehenden wie von blinden Menschen jeglicher Altersstufe und auf Wissensebenen von Schulmathematik bis zu spezieller Ingenieurs-Mathematik.

Um eine breite Wirksamkeit von Isabelle/MAWEN zu erreichen und damit grundlegendes Verständnis für Mathematik zu vertiefen, soll auch seine Einführung in die Schulen systematisch begleitet werden. Die verschiedenen Schulsysteme und unterschiedlichen Lernkulturen werden hier nur dann nachhaltig bedient, wenn interessierte Lehrpersonen und Didaktiker in die Einführung eingebunden werden. Internationale Zusammenarbeit kann auch hier gegenseitiges Verstehen fördern.

Spezielle Unterstützung für blinde Kinder
Blinde Schüler können dem Mathematik-Unterricht nicht mehr folgen, sobald Formeln komplizierter werden. Deshalb bekommen sie in Österreich speziell ausgebildete Stützlehrer zugeteilt, damit sie in ihrer jeweiligen Klasse bleiben können (im "inklusiven" Unterricht). Oben wurde beschrieben, wie Isabelle/MAWEN diese Situation deutlich zu verbessern verspricht.

Mittelfristig ist zu erwarten, dass aufgrund der modernen Browsertechnologie (u.a. "Desktop-" neben "Mobilgerät-Modus") eine Variante von Isabelle/MAWEN auf Mobilgeräten verfügbar wird. Zusammen mit der Spiel-Nähe von Isabelle/MAWEN könnte das zu sinnvollen Spielen in der Freizeit führen -- diese ist ohnehin anders als jene der Sehenden mit ihren Sportmöglichkeiten. Und wie oben angedeutet, könnten blinde Menschen in solchen Spielen sogar mehr Geschick entfalten als sehende.

Spezialkurse in Jugendcamps
''In Europa gibt es vielerlei Sommercamps für Jugendliche; sogar solche für sehbehinderte Menschen1. Solche Camps laufen mit vielerlei sportlichen und kulturellen Aktivitäten, zu denen bald auch „Mathematik-Schachspielen“ hinzugefügt werden kann. Und Zusammenarbeit mit Camps im östlichen Europa hätte das wichtige Ziel, Jugendliche international bekannt zu machen und zu vernetzen''.

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