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Denkkulturen über Mathematik verbinden ...

Mathematik ist nicht nur ein bewährtes Hilfsmittel aller Ingenieurs-Wissenschaften zum Lösen technischer Probleme. Mathematik ist, spätestens seit den alten Griechen, auch zur zentralen Denkdisziplin unserer wissenschaftlichen Denkkultur geworden. „Unwissenschaftlich“ ist heute ein Schimpfwort. Die Mathematik als Denkdisziplin hat in den letzten Jahren selbst einen Endpunkt technischer Entwicklung erreicht: Mathematik ist auf Computern vollständig mechanisiert worden, samt all ihrer logischen Begründungen. Dies führt zu zwei konträren Schlussfolgerungen: Diese zwei extremen Schlussfolgerungen polarisieren unsere Gesellschaften zunehmend. Wir wollen sie über gemeinsames Verständnis von Mathematik verbinden. Und verschiedene Länder können, mit ihren je unterschiedlichen Kulturen, einander wertvoll ergänzende Beträge dazu leisten.
 * zu hundert-prozentigem Vertrauen in die Mathematik und folglich in rationales Durchplanen aller Lebensvorgänge
 * zur Einsicht in die beschränkte Rolle der Mathematik innerhalb menschlichen Weltverständnisses.

... und auch blinde Menschen einschließen

Allen Menschen sollen Denkdisziplinen zugänglich sein, die unserer Kultur zugrunde liegen. Und Interessierte sollen die Mathematik in ihrer mechanistischen Natur erfahren können – auch blinde Menschen. Blinde Studierende in formalen Wissenschaften hatten vor dreißig Jahren bessere technische Hilfsmittel als heute, trotz „Accessibility“ im Internet und trotz gegenteiliger Beteuerung vieler Verantwortlicher.

Das MAWEN Projekt vereint drei langjährige Forschungsbereiche: Entwicklung von „proof assistants“, Forschung zu „Accessibility“ (Zugänglichkeit von Software für Menschen mit Behinderung) und Entwicklung von Mathematik Lernsoftware. Das Zusammenführen der drei Bereiche schafft Möglichkeiten, die mehrjähriger Entwicklungsarbeit bedürfen. Solche Entwicklungsarbeiten sind in unserem Wirtschaftssystem schwierig zu finanzieren: offene Lernangebote bringen kaum finanziellen Gewinn und blinde Menschen sind eine finanzschwache Konsumenten-Gruppe.

IN ARBEIT   IN ARBEIT    IN ARBEIT    IN ARBEIT    IN ARBEIT    IN ARBEIT

Schrittweises Rechnen wie Schachspielen
Mathematik gilt als schwieriger Lerngegenstand. Der aktuelle Stand der Computer Mathematik ermöglicht jedoch völlig neue Möglichkeiten interaktiven Lernens -- Lernen wie mit einem Schachcomputer: Hier "spielen" zwei Partner Zug um Zug, wobei sich beide an klare Regeln halten:



Der Schachcomputer überprüft die Züge des Spielers, ob sie den Regeln entsprechen. Darüber hinaus ist der Spieler frei in der Wahl der Züge. Ist die "Schwierigkeitsstufe" hoch eingestellt, wird der Spieler bald in Schwierigkeiten geraten. Dann kann er/sie den Computer nach einem nächsten Zug fragen. Wenn die Situation bereits aussichtslos ist, dann geht er/sie in die Spielsituation zurück, wo die Misere vermutlich begann und versucht eine Variante.

Mathematik ist rechnen (auch mit Symbolen) und begründen der Rechenschritte -- im Begründen der Schritte ist die Computer Mathematik dem Schachcomputer überlegen: ihre Regeln (der formalen Logik) sind ebenso klar wie die Schachregeln, aber die "Spiel"-Strategien sind einfacher und leichter zu durchschauen:



Hier wendet der Student ("Spieler") die Regel (a.c)/(b.c) = a/b  falsch an, der Computer wird ihm dies melden. Kann er/sie nicht weiter, kann er nach einer passenden Regeln fragen. Der Compute entscheidet (je nach eingestellter "Schwierigkeitsstufe"), ob er die Regel ganz oder nur teilweise angibt, ob er sie aus einer Liste auswählen lässt, oder ob er eine Regel einfach anwendet und die resultierende Formel ausgibt.

Nachdem zu jedem Schritt eine Begründung erfragt werden kann, wird Zusammenarbeit mehrerer Studenten/Schüler im Rechen-"Spiel" interessant. Sogar Sehende und Blinde können auf diese Weise zusammen arbeiten, wie der nächste Abschnitt zeigt.

Blinde und Sehende arbeiten zusammen
Blinde Menschen ersetzen das Sehen durch Entwickeln anderer Fähigkeiten. Auch pflegen sie einen anderen Lebensstil ("no sports" etc). Mathematik könnte für sie ein "Spiel"-Grund sein, vielleicht sogar neue berufliche Möglichkeiten eröffnen. Leider sind die Tatsachen anders: Trotz großen Einsatzes der Software-Entwickler für "Accessibility" sind Formeln auf Computern "tote" Grafiken

Andererseits hat moderne Pädagogik in den meisten Ländern entschieden, dass blinde Kinder zusammen mit sehenden Altersgenossen gemeinsam (inklusiv) mit sehenden unterrichtet werden. Dies ist erfreulich -- aber nicht im Mathematik-Unterricht: dort verlieren Blinde sehr schnell Überblick in komplizierteren Formeln und werden daher bald von "Stützlehrern" sonderbehandelt. Aber mit einer wie oben beschriebenen Computer-Software können Kinder (und später Studenten) gemeinsam mathematische Probleme lösen:



Wenn Sehende und Blinde an einem Computer (oder über Netzwerk) zusammen arbeiten, dann verwenden sie jeweils zwei verschiedene Geräte, um einander auf Formel-Elemente hinzuweisen: Sehende schauen auf den Bildschirm und zeigen mit der Maus, Blinde lesen (zeilenweise !) auf der Braille und zeigen mittels Funktionstasten.

Dabei sind blinde Software-Nutzer zu einem strukturierten Zugriff auf Formeln gezwungen, während sehende sich meist auf "Intuition" verlassen. "Intuition" leitet in der Mathematik gerne fehl, zum Beispiel zum Fehler in der Figur oben: Sehende erkennen die Struktur "intuitiv" nach der vertikalen Ausrichtung der Formeln, während Blinde in komplizierten Formeln auf "Subterme" zugreifen müssen, zum Beispiel auf Zähler und Nenner von Brüchen.

Sobald eine gesamte Lernsoftware wie MAWEN einen Struktur-orientierten Zugang zum Mathematik-Lernen pflegt, dann wird man sehen, ob nicht sehende Schüler von blinden lernen können -- hier also umgekehrt wie in den meisten anderen Fällen.

Die MAWEN-Software ist vielseitig einsetzbar
Die MAWEN-Software baut auf eine Technologie auf, die bisher in Lernsoftware für die ganze Breite von Mathematik-Lernen nicht verwendet wurde, auf "proof assistants", siehe nächsten Abschnitt unten.


 * Kollaboratives und inklusives Lernen in Schulen wie in den beiden vorhergehenden Abschnitten besprochen. Zu ersterem gibt es bereits erfolgreiche Feldversuche 1 2 3.


 * Mathematik für Interessierte jeden Alters wird zugänglich innerhalb von Bildungseinrichtungen und ausßerhalb via Internet. Wieviele "Spätberufene" werden probieren, wie sehr ihr bisheriger Ausspruch gültig ist "Ich war zwar schlecht in Mathematik, aber bin dennoch erfolgreich" ?


 * Spielerische Wettbewerbe um Geschick im Regel-Anwenden, im Aussuchen von mathematischen Methoden, im formalen Beschreiben von Problemen, etc. Dies ist möglich in kleinen Lerngruppen wie in internationalen Bewerben.


 * Mathematik-Interessensgruppen in Bildungseinrichtungen wie auch für selbständige Interessierte können durch die MAWEN-Software angesprochen werden. Warum solche Gruppen nicht in Jugendcamps oder Jugenclubs anbieten? Und nicht nur in speziellen Sommercamps?


 * Wissens-Evaluation in und von Bildungseinrichtungen auf klar quantifizierbaren Grundlagen (spezieller mechnisierter Wissensbasen in "proof assistants"), siehe Abschnitt unten.

In Computer Mathematik
Die bereits geleistete wie die aktuell laufende Forschung und Entwicklung lag und liegt in Händen des Entwicklerteams des "proof assistants" Isabelle und seines Cheftechnologen.

Isabelle baut seit seinen Anfängen in den 1980-Jahren auf eine bewährte Tradition sowie auf eine klare logische Basis auf. In den letzten Jahren hat es die Aufmerksamkeit hunderter Mathematiker weltweit auf sich genzogen, die nach und nach ihr mathematisches Spezialwissen in Isabelle implementieren und so mehr und mehr Mathematik mechanisieren. Mechanisiert werden nicht nur Definitionen und Theoreme, sondern jeder einzelne Schritt eines Beweises -- in für Mathematiker lesbarer Form:



''Das Bild zeigt Isabelle mit seinem bisherigen Frontend jEdit:

--- Isabelles Systemarchitektur nützt moderne multi-Core Hardware aus für eine effiziente asynchrone Kommunikation zwischen Beweismaschinerie und Benutzern . Die derzeitige Benutzer-Schnittstelle ist Isabelle/jEdit (in Fig.3) , aber Isabelle/PIDE ("prover IDE") ist so generell implementiert, dass sie auch andere Benutzer-Schnittstellen ansteuern kann. Derzeit wird an Isabelle/VSCode als neuer Schnittstelle gearbeitet, was für Accessibility von Bedeutung ist.

Isabelle/Isar ist nicht nur eine Eingabesprache für interaktives Beweisen sondern bietet mächtige Werkzeug zur Definition anderer Eingabesprachen . Somit entstehen keine prinzipiellen Schwierigkeiten, vereinfachte Eingabesprachen wie zum Beispiel "structured derivations" . zu definieren, in syntaktischer wie semantischer Hinsicht. Dies ist von Bedeutung für die unten beschriebene Mathematik Lernsoftware Entwicklung.

Offene R&D-Aufgaben für das MAWEN-Projekt
 * Übernahme der Funktionalitäten von Isabelle/jEdit nach Isabelle/VSCode
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Ein Teil der Entwicklungsaufgaben gilt dem neuen Frontend Isabelle/VSCode und kann unabhängig von MAWEN realisiert werden.

In "Accessibility"
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In Lern Software
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